Bizonyítás

A $d_p\equiv d\pmod{p-1}$ kongruencia a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi oszthatóság teljesülését jelenti:

p-1|d_p-d

Ez az oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

k(p-1)=d_p-d

Az egyenlet mindkét oldalához $d$ -t adva az alábbi kifejezést kapjuk $d_p$ -re:

d_p=k(p-1)+d

Ez alapján az $y^d\equiv y^{d_p}\pmod p$ kongruencia így írható fel:

y^d\equiv y^{\overbrace{k(p-1)+d}^{=d_p}}\pmod p

Ez a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 2. és 3. pontjai alapján az alábbi alakra hozható:

y^d\equiv (y^{p-1})^k \cdot y^d\pmod p

Amennyiben $y$ relatív prím $p$ -hez, akkor alkalmazható a kis Fermat-tétel, amely alapján a fenti kongruencia jobboldalán szereplő $y^{p-1}$ tényező $1$ -gyel kongruens modulo $p$ :

y^d\equiv 1^k \cdot y^d\pmod p

Így tehát a kongruencia jobboldala a 20.2. Tétel 4. és 6. pontja alapján valóban $y^d$ -vel kongruens modulo $p$ .

Amennyiben $y$ nem relatív prím $p$ -hez, akkor a 21.4. Lemma alapján teljesül a $p|y$ oszthatóság. Ilyenkor tehát ugyancsak teljesül a fenti kongruencia, hiszen mindkét oldal $0$ -val kongruens modulo $p$ .

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre