Bizonyítás
Mivel a-b és b-a egymás ellentettjei, ezért a c|a-b oszthatóság miatt a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az alábbi oszthatóságok mind teljesülnek:
E négy oszthatóság között biztosan van olyan, amelynek mindkét oldalán nemnegatív számok szerepelnek. Ezért az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a c|a-b oszthatóság ilyen. Ha mégsem ez lenne a helyzet, akkor választunk egy olyat, amire ez teljesül, és az alábbi gondolatmenetet arra alkalmazzuk. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük tehát, hogy teljesülnek az alábbiak:
A második egyenlőtlenség kapcsán az alábbi két – egymást kizáró – eset lehetséges:
Tegyük fel indirekt, hogy az utóbbi a helyzet. Ekkor a c|a-b oszthatóságra alkalmazható a 17.2. Lemma, miszerint bármely pozitív egész szám legalább akkora, mint az osztói. Azaz
De ez ellentmondás, hiszen a tétel szövege alapján a és b szigorúan kisebbek c abszolút értékénél. De mivel c-ről a bizonyítás elején feltettük, hogy nemnegatív, ezért az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója miatt a és b szigorúan kisebbek magánál c-nél is. Így – lévén hogy mindketten nemnegatívak – a különbségük méginkább szigorúan kisebb c-nél.
A fentiekből az következik, hogy a c|a-b oszthatóság csak a 0=a-b esetben teljesülhet. Ebből viszont a=b következik, ahogyan a tétel állítja.
∎