youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Mivel a−ba-b és b−ab-a egymás ellentettjei, ezért a c∣a−bc|a-b oszthatóság miatt a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az alábbi oszthatóságok mind teljesülnek:

c∣a−bc∣b−a(−c)∣a−b(−c)∣b−a\begin{aligned} c&|a-b \\ c&|b-a \\ (-c)&|a-b \\ (-c)&|b-a \end{aligned}

E négy oszthatóság között biztosan van olyan, amelynek mindkét oldalán nemnegatív számok szerepelnek. Ezért az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a c∣a−bc|a-b oszthatóság ilyen. Ha mégsem ez lenne a helyzet, akkor választunk egy olyat, amire ez teljesül, és az alábbi gondolatmenetet arra alkalmazzuk. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük tehát, hogy teljesülnek az alábbiak:

0≤c0≤a−b\begin{aligned} 0&\leq c \\ 0&\leq a-b \end{aligned}

A második egyenlőtlenség kapcsán az alábbi két – egymást kizáró – eset lehetséges:

0=a−b0<a−b\begin{aligned} 0&=a-b \\ 0&\lt a-b \end{aligned}

Tegyük fel indirekt, hogy az utóbbi a helyzet. Ekkor a c∣a−bc|a-b oszthatóságra alkalmazható a 17.2. Lemma, miszerint bármely pozitív egész szám legalább akkora, mint az osztói. Azaz

c≤a−bc\leq a-b

De ez ellentmondás, hiszen a tétel szövege alapján aa és bb szigorúan kisebbek cc abszolút értékénél. De mivel cc-ről a bizonyítás elején feltettük, hogy nemnegatív, ezért az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója miatt aa és bb szigorúan kisebbek magánál cc-nél is. Így – lévén hogy mindketten nemnegatívak – a különbségük méginkább szigorúan kisebb cc-nél.

A fentiekből az következik, hogy a c∣a−bc|a-b oszthatóság csak a 0=a−b0=a-b esetben teljesülhet. Ebből viszont a=ba=b következik, ahogyan a tétel állítja.

∎