Bizonyítás
Az áttekinthetőség kedvéért most az összeadást a +, az ellentettképzést és a kivonást pedig a - szimbólummal fogjuk jelölni mindhárom gyűrű esetén. Mindig gondoljuk azonban végig, hogy az adott kifejezésben szereplő műveleti jelek éppen melyik gyűrűre vonatkoznak. Ezzel szemben a nullelemek között továbbra is jelölésbeli különbségeket fogunk tenni. Ez alapján az R gyűrű nullelemét 0_R, az S gyűrű nullelemét 0_S, a T gyűrű nullelemét pedig 0_T fogja jelölni.
Először is tegyük fel, hogy a két gyűrűhomomorfizmus magja megegyezik, azaz
Az a\equiv b\pod f kongruenciareláció a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan azt jelenti, hogy az a-b különbség benne van f magjában. Mivel azonban \ker f=\ker g, ezért ez a különbség benne van g magjában is, ami ugyanezen okok miatt pontosan azt jelenti, hogy teljesül az a\equiv b\pod g kongruencia is.
Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a két kongruenciareláció egymással ekvivalens. A fentiekkel megegyező okok miatt egyrészt az a\equiv b\pod f kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a-b különbség benne van f magjában, másrészt pedig az a\equiv b\pod g kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a-b különbség benne van g magjában.
Ha tehát a két kongruencia ekvivalens egymással, akkor az a-b különbség pontosan akkor van benne f magjában, amikor benne van g magjában is. Ez ugye tetszőleges a és b elempárra teljesül, így speciálisan azokban az esetekben is, amikor b=0_R. Ezekben az esetekben viszont:
Tehát úgy is mondhatjuk, hogy tetszőleges a pontosan akkor van benne f magjában, amikor g magjában is benne van. A \ker f és \ker g halmazoknak tehát pontosan ugyanazok az elemei, azaz a két halmaz valóban megegyezik.
∎