youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az áttekinthetőség kedvéért most az összeadást a ++, az ellentettképzést és a kivonást pedig a −- szimbólummal fogjuk jelölni mindhárom gyűrű esetén. Mindig gondoljuk azonban végig, hogy az adott kifejezésben szereplő műveleti jelek éppen melyik gyűrűre vonatkoznak. Ezzel szemben a nullelemek között továbbra is jelölésbeli különbségeket fogunk tenni. Ez alapján az RR gyűrű nullelemét 0R0_R, az SS gyűrű nullelemét 0S0_S, a TT gyűrű nullelemét pedig 0T0_T fogja jelölni.

Először is tegyük fel, hogy a két gyűrűhomomorfizmus magja megegyezik, azaz

ker⁡f=ker⁡g\ker f=\ker g

Az a≡b(f)a\equiv b\pod f kongruenciareláció a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan azt jelenti, hogy az a−ba-b különbség benne van ff magjában. Mivel azonban ker⁡f=ker⁡g\ker f=\ker g, ezért ez a különbség benne van gg magjában is, ami ugyanezen okok miatt pontosan azt jelenti, hogy teljesül az a≡b(g)a\equiv b\pod g kongruencia is.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a két kongruenciareláció egymással ekvivalens. A fentiekkel megegyező okok miatt egyrészt az a≡b(f)a\equiv b\pod f kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a−ba-b különbség benne van ff magjában, másrészt pedig az a≡b(g)a\equiv b\pod g kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a−ba-b különbség benne van gg magjában.

Ha tehát a két kongruencia ekvivalens egymással, akkor az a−ba-b különbség pontosan akkor van benne ff magjában, amikor benne van gg magjában is. Ez ugye tetszőleges aa és bb elempárra teljesül, így speciálisan azokban az esetekben is, amikor b=0Rb=0_R. Ezekben az esetekben viszont:

a−0R⏟=b=aa-\underbrace{0_R}_{=b}=a

Tehát úgy is mondhatjuk, hogy tetszőleges aa pontosan akkor van benne ff magjában, amikor gg magjában is benne van. A ker⁡f\ker f és ker⁡g\ker g halmazoknak tehát pontosan ugyanazok az elemei, azaz a két halmaz valóban megegyezik.

∎