youproof.orgDeep Math. Human Access.

18.13. Tétel

Gyűrűhomomorfizmusok szerinti kongruenciák ekvivalenciájának feltétele

Legyenek RR, SS és TT valamilyen tetszőleges gyűrűk, és tegyük fel, hogy adva van egy f:R→Sf:R\to S, valamint egy g:R→Tg:R\to T gyűrűhomomorfizmus. Legyen továbbá aa és bb az RR gyűrű két tetszőleges eleme. Amennyiben ker⁡f=ker⁡g\ker f=\ker g, úgy az alábbi kongruenciák egyszerre teljesülnek, vagy nem teljesülnek:

a≡b(f)a≡b(g)\begin{aligned} a&\equiv b\pod f \\ a&\equiv b\pod g \end{aligned}

Visszafelé: Ha a fenti kongruenciák egyszerre teljesülnek, vagy nem teljesülnek, akkor

ker⁡f=ker⁡g\ker f=\ker g

♣