youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Először a 3. tulajdonságot igazoljuk, mert ez a kulcs a többihez. Legyen n tetszőleges egész szám, és alkalmazzunk először a k\geq 0 értékekre vonatkozó teljes indukciót. Indukciós feltétel: valamilyen k\geq 0-ra már teljesül az állítás. Indukciós lépés: megmutatjuk, hogy ebben az esetben k+1-re is teljesül:

\begin{aligned} a^na^{k+1} &= a^n\overbrace{(a^ka)}^{=a^{k+1}} = \\ &= (a^na^k)a = \\ &= a^{n+k}a = \\ &= a^{n+k+1} \end{aligned}

Itt a harmadik sor az indukciós feltételből következik, az első sorban pedig a 24.10. Lemmát használtuk fel, méghozzá m=k+1 helyettesítéssel. Eszerint ugyanis:

a^{\overbrace{k}^{=m-1}}=a^{\overbrace{k+1}^{=m}}a^{-1}

Ha mindkét oldalt jobbról meszorozzuk a-val, akkor valóban megkapjuk az első sorban használt a^ka=a^{k+1} azonosságot. Ehhez hasonlóan a negyedik sorban szintén a 24.10. Lemmát használtuk fel, ám ezúttal az m=n+k+1 helyettesítéssel.

A k\geq 0 értékekre tehát már áll az indukciós dominósor. Ennek tükörképeként most alkalmazzunk a k\leq 0 értékekre vonatkozó teljes indukciót, azaz állítsuk fel a dominósort a negatív irányba is. Indukciós feltétel: valamilyen k\leq 0-ra már teljesül az állítás. Indukciós lépés: megmutatjuk, hogy ebben az esetben k-1-re is teljesül:

\begin{aligned} a^na^{k-1} &= a^n\overbrace{(a^ka^{-1})}^{=a^{k-1}} = \\ &= (a^na^k)a^{-1} = \\ &= a^{n+k}a^{-1} = \\ &= a^{n+k-1} \end{aligned}

Itt a harmadik sor megint az indukciós feltételből következik, az első és a negyedik sorban pedig közvetlenül alkalmaztuk a 24.10. Lemmát m=k valamint m=n+k helyettesítésekkel.

Mindkét irányban felállítottuk az indukciós dominósort, amiket most a k=0 eset igazolásával le is döntünk:

a^na^0=a^ne=a^n=a^{n+0}

Ezután a másik három tulajdonság már könnyen adódik. Ezek technikai részleteit az alábbiakban közöljük:

A 4. tulajdonság

Azt kell megmutatnunk, hogy a^n és a^{-n} egymás inverzei. Ez azonnal adódik a 3. tulajdonságból:

\begin{aligned} a^na^{-n}&=a^{n-n}=a^0=e \\ a^{-n}a^n&=a^{-n+n}=a^0=e \end{aligned}
A 2. tulajdonság

Legyen n tetszőleges egész szám. Ha k=0, akkor triviálisan teljesül az állítás:

(a^n)^k=(a^n)^0=e=a^0=a^{n\cdot 0}=a^{nk}

Ha k\gt 0, akkor a 24.9. Definíció miatt és a 3. tulajdonság ismételt alkalmazásával kapjuk az állítást:

\begin{aligned} (a^n)^k &= \overbrace{a^na^na^na^n\ldots a^n}^{\text{k darab}} = \\ &= a^{\overbrace{n+n}^{\text{2 darab}}}\cdot \overbrace{a^na^na^n\ldots a^n}^{\text{k-2 darab}} = \\ &= a^{\overbrace{n+n+n}^{\text{3 darab}}}\cdot \overbrace{a^na^n\ldots a^n}^{\text{k-3 darab}} = \\ &\vdots \\ &= a^{\overbrace{n+n+n+n+\ldots +n}^{\text{k darab}}} = \\ &= a^{nk} \end{aligned}

Végül, ha k\lt 0, akkor -k\gt 0, és így:

\begin{aligned} (a^n)^k &= ((a^n)^{-1})^{-k} = \\ &= (a^{-n})^{-k} = \\ &= a^{(-n)(-k)} = \\ &= a^{nk} \end{aligned}

Itt az első sorban a 24.9. Definíciót alkalmaztuk a k negatív kitevőre. A második sor a már bizonyított 4. tulajdonságból következik. Mivel -k pozitív, és pozitív kitevőkre már igazoltuk a 2. tulajdonságot, ezért azt felhasználhattuk a harmadik sorban. Végül a negyedik sorban csak egy egyszerű algebrai átalakítást végeztünk.

Az 1. tulajdonság

Pozitív n-re a 18.8. Tételben már igazoltuk az állítást. Ha n=0, akkor pedig triviálisan teljesül, ugyanis:

(ab)^n=(ab)^0=e=ee=a^0b^0=a^nb^n

Ha n negatív, akkor -n pozitív, és így:

\begin{aligned} (ab)^n &= ((ab)^{-n})^{-1} = \\ &= (a^{-n}b^{-n})^{-1} = \\ &= (b^{-n})^{-1}(a^{-n})^{-1} = \\ &= b^na^n = \\ &= a^nb^n \end{aligned}

Itt az első sorban a 4. tulajdonságot használtuk fel. Mivel -n pozitív, és pozitív kitevőkre már igazoltuk az 1. tulajdonságot, ezért azt felhasználhattuk a második sorban. A harmadik sorban a 24.2. Tétel alapján jártunk el, majd a negyedik sorban ismét a 4. tulajdonságot használtuk fel. Végül az utolsó lépés abból következik, hogy a tétel szövege alapján a és b most felcserélhetők egymással.

∎