Bizonyítás
Tegyük fel, hogy H részcsoport G-ben. Ekkor az 1. tulajdonság – tehát a műveleti zártság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben H nem lenne csoport a G műveletére nézve, és így részcsoport sem lehetne G-ben.
Mivel H-nak létezik egységeleme – hiszen maga is csoport –, ezért a 2. tulajdonsághoz azt kell megmutatni, hogy ez az egységelem megegyezik G egységelemével. Jelöljük H egységelemét e_H-val, G egységelemét pedig e_G-vel, és tegyük fel indirekt, hogy ez a kettő nem ugyanaz.
Ha a kettő nem ugyanaz, akkor az sem mindegy, hogy melyik csoportban beszélünk inverzképzésről. Jelölje most {e_H}^{-1} az e_H elem G-beli inverzét. Őket összeszorozva tehát a G csoport egységelemét kell kapjuk, azaz:
Mivel e_H a H csoport egységeleme, ezért nyilvánvalóan igaz az alábbi:
Végül, mivel e_G a G csoport egységeleme, ezért az alábbi is teljesül:
Mivel H csoport, így a csoportművelet asszociativitása miatt:
A baloldalt kifejtve ezt kapjuk:
A jobboldalt kifejtve pedig ezt:
Ez a kettő eredmény viszont a fentebb már említett asszociativitás miatt indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégis meg kell egyezzen, így valóban e_G=e_H.
Végül a 3. tulajdonság – tehát az inverzképzésre való zártság – igazolásához képezzük a H csoport valamely a elemének inverzét mindkét csoportban, és megmutatjuk, hogy ezek valójában megegyeznek. A H-beli inverzet jelöljük x_H-val, míg a G-beli inverzet x_G-vel. Az a elemet a G-beli inverzével összeszorozva a G csoport egységelemét kell kapnunk, azaz:
Ugyanakkor az a elemet a H-beli inverzével összeszorozva a H csoport egységelemét kell kapnunk, amiről azonban már láttuk, hogy megegyezik a G csoport egységelemével, azaz:
Minthogy a G-beli inverzképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért szükségképpen x_H=x_G. Azaz a H csoport valóban zárt a G-beli inverzképzésre.
Visszafelé: Most azt kell megmutatnunk, hogy ha teljesülnek a tételben megfogalmazott tulajdonságok, akkor H részcsoport G-ben. A G csoport művelete az 1. tulajdonság alapján nem vezet ki H-ból, így az művelet ezen a szűkebb halmazon is a 11.3. Definíció szerinti értelemben. Továbbá a 2. és 3. tulajdonság miatt létezik egységelem, és minden elemnek létezik inverze is H-ban.
A 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákból már csak a művelet asszociativitását kell igazolnunk. Ezt azonban H megörökli a G-től a művelettel együtt. Így tehát H valóban részcsoport G-ben.
∎