Bizonyítás
Az, hogy fennáll az a|b oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:
Az egyenlet mindkét oldalát a c elemmel megszorozva ezt kapjuk:
Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, valamint – kommutatív gyűrűről lévén szó – a 6. pont alapján kommutatív is, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető és átrendezhető:
Létezik tehát olyan elem, amellyel ac-t megszorozva bc-t kapunk, nevezetesen a k. Ez viszont épp azt jelenti, hogy ac|bc. Vegyük észre, hogy ehhez nem használtuk fel a nullosztómentességet, valamint a c=0 esetre is működik.
A megfordítás bizonyítása: ehhez már fel kell használni a nullosztómentességet is. Ebben az esetben az ac|bc oszthatóságból az előző lépéseket visszafele eljátszva következik az alábbi egyenlet:
Ezt a c\neq 0 feltétel, valamint a nullosztómentesség miatt a 15.4. Tétel alapján egyszerűsíteni lehet c-vel, azaz:
Ez viszont a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy a|b.
∎