Bizonyítás
Az, hogy fennáll az oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:
Az egyenlet mindkét oldalát a elemmel megszorozva ezt kapjuk:
Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, valamint – kommutatív gyűrűről lévén szó – a 6. pont alapján kommutatív is, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető és átrendezhető:
Létezik tehát olyan elem, amellyel -t megszorozva -t kapunk, nevezetesen a . Ez viszont épp azt jelenti, hogy . Vegyük észre, hogy ehhez nem használtuk fel a nullosztómentességet, valamint a esetre is működik.
A megfordítás bizonyítása: ehhez már fel kell használni a nullosztómentességet is. Ebben az esetben az oszthatóságból az előző lépéseket visszafele eljátszva következik az alábbi egyenlet:
Ezt a feltétel, valamint a nullosztómentesség miatt a 15.4. Tétel alapján egyszerűsíteni lehet -vel, azaz:
Ez viszont a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy .
∎