Bizonyítás
Az első két kongruencia a 18.20. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az és a különbségek benne vannak -ben. Minthogy részgyűrű -ben – hiszen ideál –, ezért e két különbség összege, azaz
szintén -ben van, és így valóban teljesül az kongruencia.
A szorzatra vonatkozó kongruencia viszont csak akkor teljesülne, ha is benne lenne -ben, így most ezt fogjuk ellenőrizni. E kifejezés értéke nem változik, ha kivonunk belőle -t, majd hozzá is adjuk. Ezt felírva, majd -et az első és a negyedik, továbbá -t a második és a harmadik tagból kiemelve ezt kapjuk:
Nézzük meg a jobboldali kifejezés két tagját. Az első tag ugye az szorzat. A tényezőről már tudjuk, hogy benne van -ben. De mivel ideál, ezért egyúttal balideál is, tehát az ő elemeit balról megszorozva bármilyen -beli elemmel – jelen esetben például -gyel – az eredmény szintén -beli lesz.
Ugyanezen okok miatt a fenti összeg másik tagja, azaz az szorzat is benne van -ben, csak ebben az esetben azt kell kihasználni, hogy jobbideál. De mivel részgyűrű, ezért a 18.15. Tétel 1. pontja miatt e két tag összege – azaz lényegében az különbség – szintén benne van -ben. Ez épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az kongruencia is.
∎