Bizonyítás
Az első két kongruencia a 18.20. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az a_1-a_2 és a b_1-b_2 különbségek benne vannak I-ben. Minthogy I részgyűrű R-ben – hiszen ideál –, ezért e két különbség összege, azaz
szintén I-ben van, és így valóban teljesül az a_1+b_1\equiv a_2+b_2\pod I kongruencia.
A szorzatra vonatkozó a_1b_1\equiv a_2b_2\pod I kongruencia viszont csak akkor teljesülne, ha a_1b_1-a_2b_2 is benne lenne I-ben, így most ezt fogjuk ellenőrizni. E kifejezés értéke nem változik, ha kivonunk belőle a_1b_2-t, majd hozzá is adjuk. Ezt felírva, majd a_1-et az első és a negyedik, továbbá b_2-t a második és a harmadik tagból kiemelve ezt kapjuk:
Nézzük meg a jobboldali kifejezés két tagját. Az első tag ugye az a_1(b_1-b_2) szorzat. A b_1-b_2 tényezőről már tudjuk, hogy benne van I-ben. De mivel I ideál, ezért egyúttal balideál is, tehát az ő elemeit balról megszorozva bármilyen R-beli elemmel – jelen esetben például a_1-gyel – az eredmény szintén I-beli lesz.
Ugyanezen okok miatt a fenti összeg másik tagja, azaz az (a_1-a_2)b_2 szorzat is benne van I-ben, csak ebben az esetben azt kell kihasználni, hogy I jobbideál. De mivel I részgyűrű, ezért a 18.15. Tétel 1. pontja miatt e két tag összege – azaz lényegében az a_1b_1-a_2b_2 különbség – szintén benne van I-ben. Ez épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az a_1b_1\equiv a_2b_2\pod I kongruencia is.
∎