Bizonyítás

Jelöljük a \leq szimbólummal az S halmazon értelmezett részbenrendezési relációt, továbbá vezessük be az a\lt b jelölést annak kifejezésére, hogy a\leq b és a\neq b.

Tegyük fel, hogy a és b is legkisebb elem S-ben. Mivel a legkisebb elem, ezért tetszőleges x\in S-re a\leq x teljesül. Többek között például b-re is, azaz a\leq b. Másrészt, mivel b is legkisebb elem, ezért ugyanilyen gondolatmenettel a\geq b is teljesül. Ám mivel a \leq reláció antiszimmetrikus, ezért a 12.11. Definíció utáni megjegyzés miatt a=b. Egy részbenrendezett halmaz legkisebb eleme tehát – amennyiben egyáltalán létezik – egyértelmű. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy a legnagyobb elem is egyértelmű.

Tegyük fel most indirekt, hogy a\in S a legkisebb elem, azonban mégsem minimális. Ez egyrészt azt jelentené, hogy létezik olyan x\in S, amelyre x\lt a teljesül. Másrészt, mivel a a legkisebb elem S-ben, ezért a\leq x-nek is teljesülnie kéne. Ez viszont lehetetlen, hiszen a bevezetett jelölés értelmében x\lt a ugye azt jelenti, hogy x\leq a de x\neq a. Ugyanakkor, mivel indirekt feltételezésünk szerint a\leq x, ezért az antiszimmetria miatt a=x, ami ellentmondás. Egy részbenrendezett halmaz legkisebb eleme tehát – amennyiben egyáltalán létezik – mindenképpen minimális. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy a legnagyobb elem pedig mindenképpen maximális.

Végül tegyük fel, hogy a\in S legkisebb elem, amely tehát minimális, de létezik egy másik minimális elem is, amelyet jelöljünk most b-vel. Mivel a a legkisebb elem, ezért a\leq b teljesül. Ugyanakkor, mivel b minimális, ezért a\lt b nem teljesülhet. Ez a bizonyítás elején bevezetett \lt jelölés értelmében csak a=b esetén lehetséges, hiszen azt már láttuk, hogy a\leq b teljesül. Tehát valóban a az egyetlen minimális elem. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy amennyiben a a legnagyobb elem S-ben, akkor egyúttal ő az egyetlen maximális elem.

∎