Bizonyítás
Tekintsünk egy olyan tetszőleges f gyűrűhomomorfizmust, amelynek képe T. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X gyűrű elemein van értelmezve, amelynek nullelemét jelöljük most 0_X-szel, míg S nullelemét jelöljük 0_S-sel. Azt kell megmutatnunk, hogy T-re teljesülnek a 18.15. Tételben felsorolt tulajdonságok.
A 18.11. Lemma 1. pontja alapján f(0_X)=0_S, így tehát S nulleleme valóban benne van T-ben, és ezzel teljesül a 18.15. Tétel szerinti 3. tulajdonság.
Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ők az f szerinti képeik, azaz
A két egyenletet összeadva és összeszorozva, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságait az alábbiakat kapjuk:
Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek az a+b összeg az f szerinti képe – nevezetesen x_a+x_b. Továbbá létezik olyan elem X-ben, amelynek az a\cdot b szorzat az f szerinti képe – nevezetesen x_a\cdot x_b. Minthogy f a T halmazba képez, emiatt az a+b összeg és az a\cdot b szorzat is benne van T-ben, ami így valóban zárt az összeadásra és szorzásra nézve. Teljesül tehát a 18.15. Tétel szerinti 1. és 2. tulajdonság is
Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a az f szerinti képe, azaz
A 18.11. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az ellentettképzést is, így teljesül az alábbi:
Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek -a az f szerinti képe – nevezetesen -x_a. Emiatt -a is benne van T-ben, ami így zárt az ellentettképzésre nézve is, azaz teljesül a 18.15. Tétel szerinti 4. tulajdonság is. Minthogy a 18.15. Tételben felsorolt minden tulajdonság teljesül, ezért T valóban részgyűrű S-ben.
Visszafelé: Tegyük most fel, hogy T részgyűrű S-ben. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan S-be mutató gyűrűhomomorfizmus, amelynek képe T. Tekintsük például azt az f:T\to S függvényt, amely T minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan gyűrűhomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a T halmaz.
∎