Bizonyítás

Tekintsük azt az $f$ gyűrűhomomorfizmust, amelynek képe $T$. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen $X$ gyűrű elemein van értelmezve, amelynek nullelemét jelöljük most $0_X$-szel, míg $S$ nullelemét jelöljük $0_S$-sel. Azt kell megmutatnunk, hogy $T$-re teljesülnek a 18.15. Tételben felsorolt tulajdonságok.

A 18.11. Lemma 1. pontja alapján $f(0_X)=0_S$, így tehát $S$ nulleleme valóban benne van $T$-ben, és ezzel teljesül a 18.15. Tétel szerinti 3. tulajdonság.

Létezik tehát olyan elem $X$-ben, amelynek az $a+b$ összeg az $f$ szerinti képe – nevezetesen $x_a+x_b$. Továbbá létezik olyan elem $X$-ben, amelynek az $a\cdot b$ szorzat az $f$ szerinti képe – nevezetesen $x_a\cdot x_b$. Minthogy $f$ a $T$ halmazba képez, emiatt az $a+b$ összeg és az $a\cdot b$ szorzat is benne van $T$-ben, ami így valóban zárt az összeadásra és szorzásra nézve. Teljesül tehát a 18.15. Tétel szerinti 1. és 2. tulajdonság is

Létezik tehát olyan elem $X$-ben, amelynek $-a$ az $f$ szerinti képe – nevezetesen $-x_a$. Emiatt $-a$ is benne van $T$-ben, ami így zárt az ellentettképzésre nézve is, azaz teljesül a 18.15. Tétel szerinti 4. tulajdonság is. Minthogy a 18.15. Tételben felsorolt minden tulajdonság teljesül, ezért $T$ valóban részgyűrű $S$-ben.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy $T$ részgyűrű $S$-ben. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan $S$-be mutató gyűrűhomomorfizmus, amelynek képe $T$. Tekintsük például azt az $f:T\to S$ függvényt, amely $T$ minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan gyűrűhomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a $T$ halmaz.

∎