youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Legyen [a]n[a]_n egy Fermat-tanú, [b]n[b]_n pedig egy Fermat-nemtanú. Képezzük e két maradékosztály szorzatát, ami a 20.5. Tétel alapján az [ab]n[ab]_n maradékosztály lesz. Mivel [b]n[b]_n Fermat-nemtanú, ezért a 23.3. Definíció alapján teljesül az alábbi kongruencia:

bn−1≡1(modn)b^{n-1}\equiv 1\pmod n

Következésképp a 20.2. Tétel 5. pontja miatt teljesül az alábbi kongruencia is:

an−1bn−1≡an−1(modn)a^{n-1}b^{n-1} \equiv a^{n-1} \pmod n

Ennek a baloldala a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 1. pontja alapján átírható:

(ab)n−1≡an−1(modn)(ab)^{n-1} \equiv a^{n-1} \pmod n

Mivel [a]n[a]_n Fermat-tanú, ezért a 23.3. Definíció alapján a jobboldali kifejezés biztosan nem kongruens 11-gyel modulo nn. Így hát a baloldali kifejezés sem, azaz:

(ab)n ≡ 1(modn)(ab)^n \ \cancel{\equiv} \ 1\pmod n

Ez ismét a 23.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az [ab]n[ab]_n maradékosztály valóban egy Fermat-tanú.

∎