Bizonyítás
Legyen [a]_n egy Fermat-tanú, [b]_n pedig egy Fermat-nemtanú. Képezzük e két maradékosztály szorzatát, ami a 20.5. Tétel alapján az [ab]_n maradékosztály lesz. Mivel [b]_n Fermat-nemtanú, ezért a 23.3. Definíció alapján teljesül az alábbi kongruencia:
b^{n-1}\equiv 1\pmod n
Következésképp a 20.2. Tétel 5. pontja miatt teljesül az alábbi kongruencia is:
a^{n-1}b^{n-1} \equiv a^{n-1} \pmod n
Ennek a baloldala a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 1. pontja alapján átírható:
(ab)^{n-1} \equiv a^{n-1} \pmod n
Mivel [a]_n Fermat-tanú, ezért a 23.3. Definíció alapján a jobboldali kifejezés biztosan nem kongruens 1-gyel modulo n. Így hát a baloldali kifejezés sem, azaz:
(ab)^n \ \cancel{\equiv} \ 1\pmod n
Ez ismét a 23.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az [ab]_n maradékosztály valóban egy Fermat-tanú.
∎