Bizonyítás

Mivel $(a,b)$ közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

A második oszthatóság jobboldala a 16.2. Tétel 7. pontja miatt tetszőleges $k$ elemmel megszorozható:

Az $(a,b)$ tehát osztója $a$-nak és $kb$-nek, így ugyanezen tétel 6. pontja miatt osztója a különbségüknek is:

Azt kaptuk, hogy az $(a,b)$ elem $a$-n és $b$-n kívül közös osztója $b$-nek és $a-kb$-nek is. Már csak azt kell megmutatni, hogy ennek az elempárnak szintén kitüntetett közös osztója, azaz bármely más közös osztónak többszöröse. Tegyük fel például, hogy $d$ egy ilyen közös osztó, azaz:

Az első oszthatóság jobboldalát a 16.2. Tétel 7. pontja miatt $k$-val megszorozhatjuk:

A $d$ elem tehát osztója $a-kb$-nek és $kb$-nek, így ugyanezen tétel 6. pontja miatt osztója az összegüknek is, amelyben a $kb$ és $-kb$ tagok kiejtik egymást:

Azt kaptuk tehát, hogy $d$ közös osztója $a$-nak és $b$-nek, emiatt osztója az ő kitüntetett közös osztójuknak, azaz $(a,b)$-nek is. Igenám, de fentebb már láttuk, hogy $(a,b)$ nem csak az $a$ és $b$ elemek közös osztója, hanem a $b$ és $a-kb$ elemeknek is. Így ő végülis ezeknek az elemeknek is kitüntetett közös osztója, és így a két kitüntetett közös osztó a 17.5. Tétel alapján egymás asszociáltjai, azaz valóban: