Bizonyítás
Azt, hogy az esetleges egységelem egy gyűrűben mindig egység, már láttuk a 16.3. Definíciója utáni megjegyzésben. Így csak azt kell megmutatni, hogy ha létezik egység, akkor szükségképpen léteznie kell egységelemnek is.
Az, hogy egy u elem egység, a 16.3. Definíciója alapján azt jelenti, hogy minden a elem az u elem többszöröse, amit a 16.1. Definíció szerint úgy is mondhatunk, hogy minden a elemhez létezik olyan x_a elem, hogy
Vagyis minden a elem – és így speciálisan maga u is – az u elem többszöröse:
Most vizsgáljuk meg közelebbről ezt az u-hoz talált x_u elemet. Nézzük meg, hogy mi történik, ha ezzel az x_u elemmel megszorzunk egy tetszőleges b elemet:
Ugye azt mondtuk, hogy az u-nak minden elem a többszöröse, így speciálisan ez a tetszőleges b elem is. Létezik tehát olyan b-hez tartozó x_b elem, amelynek a segítségével b kifejezhető u többszöröseként:
De ekkor a 14.12. Definícióban szereplő 4. gyűrűaxióma, valamint – kommutatív gyűrűről lévén szó – a 6. gyűrűaxióma miatt ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető, a tényezők pedig tetszőleges sorrendben felírhatók, ezért ezt így is írhatjuk:
Azt viszont már láttuk, hogy az u\cdot x_u kifejezés épp u-val egyenlő, ezért:
Azt kaptuk tehát, hogy ha az imént megvizsgált x_u elemmel bármilyen b elemet megszorzunk, akkor az eredmény b lesz. Ez a 14.7. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy x_u valóban a gyűrű szorzásának neutrális eleme, más szavakkal ő nem más, mint a gyűrű egységeleme.
∎