youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Azt, hogy az esetleges egységelem egy gyűrűben mindig egység, már láttuk a 16.3. Definíciója utáni megjegyzésben. Így csak azt kell megmutatni, hogy ha létezik egység, akkor szükségképpen léteznie kell egységelemnek is.

Az, hogy egy uu elem egység, a 16.3. Definíciója alapján azt jelenti, hogy minden aa elem az uu elem többszöröse, amit a 16.1. Definíció szerint úgy is mondhatunk, hogy minden aa elemhez létezik olyan xax_a elem, hogy

u⋅xa=au\cdot x_a = a

Vagyis minden aa elem – és így speciálisan maga uu is – az uu elem többszöröse:

u⋅xu=uu\cdot x_u = u

Most vizsgáljuk meg közelebbről ezt az uu-hoz talált xux_u elemet. Nézzük meg, hogy mi történik, ha ezzel az xux_u elemmel megszorzunk egy tetszőleges bb elemet:

b⋅xu=…b\cdot x_u = \dots

Ugye azt mondtuk, hogy az uu-nak minden elem a többszöröse, így speciálisan ez a tetszőleges bb elem is. Létezik tehát olyan bb-hez tartozó xbx_b elem, amelynek a segítségével bb kifejezhető uu többszöröseként:

⋯=(u⋅xb)⏟=b⋅xu=…\dots = \underbrace{(u\cdot x_b)}_{=b}\cdot x_u = \dots

De ekkor a 14.12. Definícióban szereplő 4. gyűrűaxióma, valamint – kommutatív gyűrűről lévén szó – a 6. gyűrűaxióma miatt ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető, a tényezők pedig tetszőleges sorrendben felírhatók, ezért ezt így is írhatjuk:

⋯=(u⋅xu)⋅xb=…\dots = (u\cdot x_u)\cdot x_b = \dots

Azt viszont már láttuk, hogy az u⋅xuu\cdot x_u kifejezés épp uu-val egyenlő, ezért:

⋯=u⏟=u⋅xu⋅xb=b\dots = \underbrace{u}_{=u\cdot x_u}\cdot x_b = b

Azt kaptuk tehát, hogy ha az imént megvizsgált xux_u elemmel bármilyen bb elemet megszorzunk, akkor az eredmény bb lesz. Ez a 14.7. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy xux_u valóban a gyűrű szorzásának neutrális eleme, más szavakkal ő nem más, mint a gyűrű egységeleme.

∎