youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Jelöljük a neutrális elemet e-vel. Ha m=0, akkor m-1=-1, és mivel a 24.9. Definíció alapján a^0=e, ezért

\begin{aligned} a^{m-1}&=a^{-1}= \\ &=e\cdot a^{-1}= \\ &=a^0\cdot a^{-1}= \\ &=a^m\cdot a^{-1} \end{aligned}

Itt fontos megjegyezni, hogy az első sorban lévő a^{-1} még csak formálisan jelöli az a elemnek a -1-edik hatványát, ez azonban a 24.9. Definíció alapján az a inverzének +1-edik hatványával, vagyis magával a inverzével egyezik meg, amit – kicsit szerencsétlen módon – szintén a^{-1}-gyel jelöltünk. A második sortól kezdve már ez utóbbi jelentést társítjuk az a^{-1} jelöléshez.

Ha m=1, akkor m-1=0, és mivel a 24.9. Definíció alapján a^0=e, továbbá a 14.9. Definíció alapján aa^{-1}=e, ezért

\begin{aligned} a^{m-1}&=a^{0}= \\ &=e= \\ &=a\cdot a^{-1}= \\ &=a^1\cdot a^{-1} \\ &=a^m\cdot a^{-1} \end{aligned}

Ha m\gt 1, akkor m-1\gt 0, és így használhatjuk a 18.8. Tételben szereplő definíciót:

a^{m-1}\cdot a = \overbrace{\underbrace{aaa\ldots a}_{m-1\ \text{darab}} \cdot a}^{m\ \text{darab}}=a^m

Ha mindkét oldalt jobbról megszorozzuk a inverzével, akkor megkapjuk a tétel állítását m\gt 1 esetén is:

a^{m-1}\cdot \cancel{\overbrace{aa^{-1}}^{=e}} = a^m\cdot a^{-1}

Végül, ha m\lt 0 – azaz negatív –, akkor vezessük be az r=-m jelölést. Ilyenkor tehát egyrészt r\gt 0, másrészt m=-r, és így az a^{m-1} hatvány így alakítható át:

\begin{aligned} a^{m-1}&=a^{\overbrace{-r}^{=m}-1}= \\ &=a^{-(r+1)}= \\ &=(a^{-1})^{r+1}= \\ &=(a^{-1})^{r}\cdot (a^{-1})^{1} \\ &=a^{-r}\cdot a^{-1} \\ &=a^m\cdot a^{-1} \end{aligned}

Itt az első sorban elvégeztük az m=-r behelyettesítést, a második sorban csak egy algebrai átalakítást végeztünk a kitevőben, a harmadik sorban a 24.9. Definíció szerint jártunk el a -(r+1) negatív kitevőre vonatkozóan, a negyedik sorban alkalmaztuk a 18.8. Tétel 3. pontját, mivel r+1 itt már pozitív kitevő, az ötödik sorban ismét a 24.9. Definíció szerint jártunk el, végül az utolsó sorban visszafelé végeztük el az m=-r behelyettesítést.

∎