Bizonyítás

Az egyik irányú implikációt már bizonyítottuk a 16.8. Tétel 4. pontjában.

Most nézzük a másik irányt, azaz tegyük fel, hogy $R$ egységelemes, és $a\sim b$. A 16.2. Tétel 1. pontja alapján egységelemes gyűrűkben minden elem osztója önmagának, így tehát teljesülnek az $a|a$ valamint a $b|b$ oszthatóságok. Mivel azonban $a$ és $b$ egymás asszociáltjai, ezért pontosan ugyanazok az osztóik. Ha tehát fennáll az $a|a$ oszthatóság, akkor szükségképpen fennáll az $a|b$ oszthatóság is. Ugyanilyen okból ha fennáll a $b|b$ oszthatóság, akkor szükségképpen fennáll a $b|a$ oszthatóság is.

∎