youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy SS részgyűrű RR-ben. Ekkor az 1. és 2. tulajdonság – tehát a műveleti zártság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben SS nem lenne gyűrű az RR-beli műveletekre nézve, és így részgyűrű sem lehetne RR-ben.

Mivel SS-nek létezik nulleleme – hiszen maga is gyűrű –, ezért a 3. tulajdonsághoz azt kell megmutatni, hogy ez a nullelem megegyezik RR nullelemével. Jelöljük SS nullelemét 0S0_S-sel, RR nullelemét pedig 0R0_R-rel, és tegyük fel indirekt, hogy ez a kettő nem ugyanaz.

Ha a kettő nem ugyanaz, akkor az sem mindegy, hogy melyik gyűrűben beszélünk ellentettképzésről. Jelölje most −0S-0_S a 0S0_S elem RR-beli ellentettjét. Őket összeadva tehát az RR gyűrű nullelemét kell kapjuk, azaz:

0S+(−0S)=0R0_S+(-0_S)=0_R

Mivel 0S0_S az SS gyűrű nulleleme, ezért nyilvánvalóan igaz az alábbi:

0S+0S=0S0_S+0_S=0_S

Végül, mivel 0R0_R az RR gyűrű nulleleme, ezért az alábbi is teljesül:

0S+0R=0S0_S+0_R=0_S

Mivel SS gyűrű, így az összeadás asszociativitása miatt:

(0S+0S)+(−0S)=0S+(0S+(−0S))(0_S+0_S)+(-0_S)=0_S+(0_S+(-0_S))

A baloldalt kifejtve ezt kapjuk:

(0S+0S)⏟=0S+(−0S)=0R\underbrace{(0_S+0_S)}_{=0_S}+(-0_S)=0_R

A jobboldalt kifejtve pedig ezt:

0S+(0S+(−0S))⏟=0R=0S0_S+\underbrace{(0_S+(-0_S))}_{=0_R}=0_S

Ez a kettő eredmény viszont a fentebb már említett asszociativitás miatt indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégis meg kell egyezzen, így valóban:

0R=0S0_R=0_S

Végül a 4. tulajdonság – tehát az ellentettképzésre való zártság – igazolásához képezzük az SS gyűrű valamely aa elemének ellentettjét mindkét gyűrűben, és megmutatjuk, hogy ezek valójában megegyeznek. Az SS-beli ellentettet jelöljük xSx_S-sel, míg az RR-beli ellentettet xRx_R-rel. Az aa elemet az RR-beli ellentettjével összeadva RR nullelemét kell kapnunk, azaz:

a+xR=0Ra+x_R=0_R

Ugyanakkor az aa elemet az SS-beli ellentettjével összeadva SS nullelemét kell kapnunk, amiről azonban már igazoltuk, hogy megegyezik RR nullelemével, azaz:

a+xS=0S=0Ra+x_S=0_S=0_R

Minthogy az RR-beli ellentettképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért szükségképpen

xS=xRx_S=x_R

Azaz az SS gyűrű valóban zárt az RR-beli ellentettképzésre.

Visszafelé: Most azt kell megmutatnunk, hogy ha teljesülnek a tételben megfogalmazott tulajdonságok, akkor SS részgyűrű RR-ben. Az RR gyűrű műveletei az 1. és 2. tulajdonság alapján nem vezetnek ki SS-ből, így azok műveletek ezen a szűkebb halmazon is a 11.3. Definíció szerinti értelemben. Továbbá a 3. és 4. tulajdonság miatt létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje is SS-ben.

A 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákból már csak a két művelet asszociativitását, valamint a disztributivitási szabályokat kell igazolnunk. Ezeket azonban SS megörökli RR-től a műveletekkel együtt. Így tehát SS valóban részgyűrű RR-ben.

∎