Bizonyítás
Tegyük fel, hogy S részgyűrű R-ben. Ekkor az 1. és 2. tulajdonság – tehát a műveleti zártság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben S nem lenne gyűrű az R-beli műveletekre nézve, és így részgyűrű sem lehetne R-ben.
Mivel S-nek létezik nulleleme – hiszen maga is gyűrű –, ezért a 3. tulajdonsághoz azt kell megmutatni, hogy ez a nullelem megegyezik R nullelemével. Jelöljük S nullelemét 0_S-sel, R nullelemét pedig 0_R-rel, és tegyük fel indirekt, hogy ez a kettő nem ugyanaz.
Ha a kettő nem ugyanaz, akkor az sem mindegy, hogy melyik gyűrűben beszélünk ellentettképzésről. Jelölje most -0_S a 0_S elem R-beli ellentettjét. Őket összeadva tehát az R gyűrű nullelemét kell kapjuk, azaz:
Mivel S gyűrű, így az összeadás asszociativitása miatt:
A baloldalt kifejtve ezt kapjuk:
A jobboldalt kifejtve pedig ezt:
Ez a kettő eredmény viszont a fentebb már említett asszociativitás miatt indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégis meg kell egyezzen, így valóban:
Végül a 4. tulajdonság – tehát az ellentettképzésre való zártság – igazolásához képezzük az S gyűrű valamely a elemének ellentettjét mindkét gyűrűben, és megmutatjuk, hogy ezek valójában megegyeznek. Az S-beli ellentettet jelöljük x_S-sel, míg az R-beli ellentettet x_R-rel. Az a elemet az R-beli ellentettjével összeadva R nullelemét kell kapnunk, azaz:
Ugyanakkor az a elemet az S-beli ellentettjével összeadva S nullelemét kell kapnunk, amiről azonban már igazoltuk, hogy megegyezik R nullelemével, azaz:
Minthogy az R-beli ellentettképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért szükségképpen
Azaz az S gyűrű valóban zárt az R-beli ellentettképzésre.
Visszafelé: Most azt kell megmutatnunk, hogy ha teljesülnek a tételben megfogalmazott tulajdonságok, akkor S részgyűrű R-ben. Az R gyűrű műveletei az 1. és 2. tulajdonság alapján nem vezetnek ki S-ből, így azok műveletek ezen a szűkebb halmazon is a 11.3. Definíció szerinti értelemben. Továbbá a 3. és 4. tulajdonság miatt létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje is S-ben.
A 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákból már csak a két művelet asszociativitását, valamint a disztributivitási szabályokat kell igazolnunk. Ezeket azonban S megörökli R-től a műveletekkel együtt. Így tehát S valóban részgyűrű R-ben.
∎