youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Kezdjük az 1. állítás igazolásával. Mivel x≤s(n)x\leq s(n), ezért az alábbi két eset lehetséges:

n<x=s(n)n<x<s(n)\begin{aligned} n<x&=s(n) \\ n<x&<s(n) \end{aligned}

Tegyük fel indirekt, hogy a tétel állításával szemben a második eset áll fenn, azaz:

n<x<s(n)n<x<s(n)

Ekkor az egész számok rendezésének a 15.18. Tételben szereplő definíciója alapján léteznek olyan k1≠0k_1\neq 0 és k2≠0k_2\neq 0 természetes számok, hogy teljesül az alábbi:

n+k1⏟=x+k2=s(n)\underbrace{n+k_1}_{=x}+k_2 = s(n)

A 11.4. Definíció 2. pontja alapján ez így írható:

n+k1+k2=n+s(0)⏟=s(n)n+k_1+k_2=\underbrace{n+s(0)}_{=s(n)}

Az egyenlet mindkét oldalát egyszerűsíthetjük nn-nel a 12.18. Lemma miatt:

k1+k2=s(0)k_1+k_2=s(0)

Mivel k1≠0k_1\neq 0, ezért a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan k0k_0 természetes szám, amelynek épp k1k_1 a rákövetkezője, azaz s(k0)=k1s(k_0)=k_1. Ekkor az egyenlet így írható:

s(k0)⏟=k1+k2=s(0)\underbrace{s(k_0)}_{=k_1}+k_2=s(0)

Ismét a 11.4. Definíció 2. pontja, valamint az összeadás kommutativitása miatt ez így is írható:

s(k0+k2)⏟=s(k0)+k2=s(0)\underbrace{s(k_0+k_2)}_{=s(k_0)+k_2}=s(0)

A 11.1. Definíció 2. pontja alapján ekkor:

k0+k2=0k_0+k_2=0

Végül alkalmazhatjuk a 12.19. Lemmát, mely szerint ez csak akkor lehetséges, ha teljesülnek az alábbiak:

k0=0k2=0\begin{aligned} k_0&=0 \\ k_2&=0 \end{aligned}

Ez viszont ellentmond annak, hogy k2≠0k_2\neq 0, vagyis az indirekt feltevésünk hibás volt, és így kizárólag csak az alábbi eset fordulhat elő, ahogy a tétel állítja:

n<x=s(n)n<x=s(n)

Most igazoljuk a 2. állítást. Mivel n≤xn\leq x, ezért az alábbi két eset lehetséges:

n=x<s(n)n<x<s(n)\begin{aligned} n=x&<s(n) \\ n<x&<s(n) \end{aligned}

Tegyük fel indirekt, hogy a tétel állításával szemben a második eset áll fenn, azaz:

n<x<s(n)n<x<s(n)

Erről viszont az 1. állítás kapcsán már láttuk, hogy lehetetlen.

∎