youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Kezdjük az 1. állítás igazolásával. Mivel x\leq s(n), ezért az alábbi két eset lehetséges:

\begin{aligned} n<x&=s(n) \\ n<x&<s(n) \end{aligned}

Tegyük fel indirekt, hogy a tétel állításával szemben a második eset áll fenn, azaz:

n<x<s(n)

Ekkor az egész számok rendezésének a 15.18. Tételben szereplő definíciója alapján léteznek olyan k_1\neq 0 és k_2\neq 0 természetes számok, hogy teljesül az alábbi:

\underbrace{n+k_1}_{=x}+k_2 = s(n)

A 11.4. Definíció 2. pontja alapján ez így írható:

n+k_1+k_2=\underbrace{n+s(0)}_{=s(n)}

Az egyenlet mindkét oldalát egyszerűsíthetjük n-nel a 12.18. Lemma miatt:

k_1+k_2=s(0)

Mivel k_1\neq 0, ezért a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan k_0 természetes szám, amelynek épp k_1 a rákövetkezője, azaz s(k_0)=k_1. Ekkor az egyenlet így írható:

\underbrace{s(k_0)}_{=k_1}+k_2=s(0)

Ismét a 11.4. Definíció 2. pontja, valamint az összeadás kommutativitása miatt ez így is írható:

\underbrace{s(k_0+k_2)}_{=s(k_0)+k_2}=s(0)

A 11.1. Definíció 2. pontja alapján ekkor:

k_0+k_2=0

Végül alkalmazhatjuk a 12.19. Lemmát, mely szerint ez csak akkor lehetséges, ha teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned} k_0&=0 \\ k_2&=0 \end{aligned}

Ez viszont ellentmond annak, hogy k_2\neq 0, vagyis az indirekt feltevésünk hibás volt, és így kizárólag csak az alábbi eset fordulhat elő, ahogy a tétel állítja:

n<x=s(n)

Most igazoljuk a 2. állítást. Mivel n\leq x, ezért az alábbi két eset lehetséges:

\begin{aligned} n=x&<s(n) \\ n<x&<s(n) \end{aligned}

Tegyük fel indirekt, hogy a tétel állításával szemben a második eset áll fenn, azaz:

n<x<s(n)

Erről viszont az 1. állítás kapcsán már láttuk, hogy lehetetlen.

∎