youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Teljes indukciót alkalmazunk cc-re. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamely c=nc=n természetes számra. Az indukciós feltétel tehát: (a+b)+n=a+(b+n)(a+b)+n = a+(b+n). Azt kell bizonyítanunk, hogy ebben az esetben c=s(n)c=s(n)-re is igaz, azaz:

(a+b)+s(n)⏟=c=a+(b+s(n)⏟=c)(a+b)+\underbrace{s(n)}_{=c} = a+(b+\underbrace{s(n)}_{=c})

A 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

(a+b)+s(n)=s((a+b)+n)=…(a+b)+s(n)=s((a+b)+n) = \ldots

Az indukciós feltétel miatt:

…=s(a+(b+n))=…\ldots =s(a+(b+n)) = \ldots

Ismételten a 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

…=a+s(b+n)=…\ldots = a+s(b+n) = \ldots

És végül megint csak a 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

…=a+(b+s(n))\ldots = a+(b+s(n))

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban (a+b)+s(n)⏟=c=a+(b+s(n)⏟=c)(a+b)+\underbrace{s(n)}_{=c} = a+(b+\underbrace{s(n)}_{=c}).

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni. Ezért most felborítjuk az első dominót, vagyis igazoljuk, hogy az állítás igaz c=0c=0-ra, azaz:

(a+b)+0⏟=c=a+(b+0⏟=c)(a+b)+\underbrace{0}_{=c} = a+(b+\underbrace{0}_{=c})

A 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

(a+b)+0=a+b=…(a+b)+0 = a+b = \ldots

Ismételten a 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

…=a+(b+0)\ldots = a+(b+0)

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban (a+b)+0⏟=c=a+(b+0⏟=c)(a+b)+\underbrace{0}_{=c} = a+(b+\underbrace{0}_{=c}).

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden aa, bb és cc számra igaz, hogy (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c).

∎