youproof.orgDeep Math. Human Access.

Megjegyzés

Az 1. tulajdonság visszafele nem teljesül. Azaz önmagában abból, hogy minden elem osztója önmagának még nem következik, hogy létezik egységelem is a gyűrűben. Ehhez már kell a nullosztómentesség is, azonban nullosztómentes esetben már a 2. tulajdonságban szereplő gyengébb feltétel is kikényszeríti az egységelem létezését.

Példaként mutatunk egy olyan R kommutatív gyűrűt, amelyben minden elem osztója önmagának, ennek ellenére nem egységelemes. Ennek a furcsa gyűrűnek olyan 1-esekből és 0-kból álló sorozatok az elemei, amelyekben csak véges sok 1-es van. Íme két példa ilyen sorozatokra:

\begin{aligned} (0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,\dots) \\ (1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,\dots) \end{aligned}

Fontos az a kikötés, hogy csak véges sok 1-es szerepelhet ezekben a sorozatokban. Például az alábbi két sorozat nem eleme R-nek, mert mindkettőben végtelen sok 1-es szerepel:

\begin{aligned} (0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,\dots) \\ (1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\dots) \end{aligned}

A gyűrűn értelmezünk két műveletet is. Két R-beli sorozat "összege", illetve "szorzata" egy olyan sorozat lesz, amelynek i-edik elemét úgy kapjuk, hogy a két bemeneti sorozat i-edik elemét egymással "összeadjuk", illetve "összeszorozzuk" az alábbi műveleti táblák segítségével:

\begin{array}{rr}{ \begin{aligned} 0+0&=0 \\ 0+1&=1 \\ 1+0&=1 \\ 1+1&=0 \end{aligned}} & & & {\begin{aligned} 0\cdot 0&=0 \\ 0\cdot 1&=0 \\ 1\cdot 0&=0 \\ 1\cdot 1&=1 \end{aligned}} \end{array}

Az így definiált, sorozatok közötti "összeadást" a \oplus, míg a "szorzást" a \odot szimbólummal fogjuk jelölni. Tehát például:

\begin{aligned} (1,0,1,0,\dots)&\oplus (0,1,1,0,\dots)=(1,1,0,0,\dots) \\ (1,0,1,0,\dots)&\odot (0,1,1,0,\dots)=(0,0,1,0,\dots) \end{aligned}

Az Olvasóra bízzuk annak átgondolását, hogy R ezekkel a műveletekkel valóban egy kommutatív gyűrűt alkot, amelyben a csupa 0-kból álló (0,0,0,\dots) sorozat a nullelem. Vegyük észre, hogy a \odot művelet fenti értelmezése alapján egy adott pozícióban lévő szám csak akkor nem változik a "szorzás" hatására, ha a "szorzó tényezőben" az adott pozícióban 1-es van. Így egységelemként csak a csupa 1-esekből álló (1,1,1,\dots) sorozat jöhetne szóba. Ez azonban végtelen sok 1-est tartalmaz, és így a kikötésünk miatt nem eleme R-nek, azaz R-ben valóban nincs egységelem.

Igaz továbbá az is, hogy R nem nullosztómentes, hiszen például az alábbi két nemnulla sorozat "szorzata" a nullelem:

(1,0,1,0,\dots)\odot (0,1,0,1,\dots)=(0,0,0,0,\dots)

Viszont érdekes módon – annak ellenére, hogy nincs egységelem – R minden eleme osztója önmagának, hiszen ha bármelyik x sorozatot önmagával "megszorozzuk", akkor az eredmény x. Például:

\underbrace{(0,1,1,0,\dots)}_{=x}\odot \underbrace{(0,1,1,0,\dots)}_{=x} = \underbrace{(0,1,1,0,\dots)}_{=x}

♣