youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Azt a jól ismert azonosságot fogjuk használni, miszerint bármilyen kommutatív gyűrű tetszőleges x és y elemeire teljesül az alábbi:

x^2-y^2=(x-y)\cdot (x+y)

Ez a 14.12. Definícióban szereplő gyűrűaxiómák közvetlen következménye, amelyet most le is ellenőrzünk. Rögtön alkalmazhatjuk az 5. axiómában lévő első disztributivitási szabályt:

(x-y)\cdot (x+y)=(x-y)\cdot x + (x-y)\cdot y=\ldots

A kapott összeg mindkét tagjára alkalmazhatjuk a második disztributivitási szabályt. Figyelembe véve a 15.1. Tétel 3. pontját, valóban a fent szereplő kifejezést kapjuk:

\ldots = x^2-yx + xy-y^2 = x^2-y^2

Ezek után alkalmazhatjuk ezt az azonosságot az a^{2^ek}-1 kifejezésre. Ez ugyanis a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 2. és 3. pontjai alapján a következőképpen alakítható át:

a^{2^ek}-1=a^{2^{e-1}\cdot k\cdot 2}-1=(a^{2^{e-1}\cdot k})^2-1

Erre már alkalmazhatjuk a fenti azonosságot x=a^{2^{e-1}\cdot k} és y=1 szereposztással:

(\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x})^2-(\underbrace{1}_{=y})^2=(\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x}-\underbrace{1}_{=y})\cdot (\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x}+\underbrace{1}_{=y})=\ldots

Amennyiben az e-1 kitevő még mindig nagyobb 0-nál, akkor a kapott szorzat első tényezőjére megismételhetjük a fenti eljárást:

\ldots=\underbrace{(a^{2^{e-2}\cdot k}-1)\cdot (a^{2^{e-2}\cdot k}+1)}_{=a^{2^{e-1}\cdot k}-1}\cdot (a^{2^{e-1}\cdot k}+1)=\ldots

Ha még az e-2 kitevő is nagyobb 0-nál, akkor az első tényezőt ugyanígy tovább bonthatjuk. Minden lépésben tovább fog csökkenni a kitevő, és előbb-utóbb – egészen pontosan e lépés után – eléri a 0-t. Ekkor épp a tételben szereplő szorzatot fogjuk kapni.

∎