youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Azt a jól ismert azonosságot fogjuk használni, miszerint bármilyen kommutatív gyűrű tetszőleges xx és yy elemeire teljesül az alábbi:

x2−y2=(x−y)⋅(x+y)x^2-y^2=(x-y)\cdot (x+y)

Ez a 14.12. Definícióban szereplő gyűrűaxiómák közvetlen következménye, amelyet most le is ellenőrzünk. Rögtön alkalmazhatjuk az 5. axiómában lévő első disztributivitási szabályt:

(x−y)⋅(x+y)=(x−y)⋅x+(x−y)⋅y=…(x-y)\cdot (x+y)=(x-y)\cdot x + (x-y)\cdot y=\ldots

A kapott összeg mindkét tagjára alkalmazhatjuk a második disztributivitási szabályt. Figyelembe véve a 15.1. Tétel 3. pontját, valóban a fent szereplő kifejezést kapjuk:

…=x2−yx+xy−y2=x2−y2\ldots = x^2-yx + xy-y^2 = x^2-y^2

Ezek után alkalmazhatjuk ezt az azonosságot az a2ek−1a^{2^ek}-1 kifejezésre. Ez ugyanis a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 2. és 3. pontjai alapján a következőképpen alakítható át:

a2ek−1=a2e−1⋅k⋅2−1=(a2e−1⋅k)2−1a^{2^ek}-1=a^{2^{e-1}\cdot k\cdot 2}-1=(a^{2^{e-1}\cdot k})^2-1

Erre már alkalmazhatjuk a fenti azonosságot x=a2e−1⋅kx=a^{2^{e-1}\cdot k} és y=1y=1 szereposztással:

(a2e−1⋅k⏟=x)2−(1⏟=y)2=(a2e−1⋅k⏟=x−1⏟=y)⋅(a2e−1⋅k⏟=x+1⏟=y)=…(\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x})^2-(\underbrace{1}_{=y})^2=(\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x}-\underbrace{1}_{=y})\cdot (\underbrace{a^{2^{e-1}\cdot k}}_{=x}+\underbrace{1}_{=y})=\ldots

Amennyiben az e−1e-1 kitevő még mindig nagyobb 00-nál, akkor a kapott szorzat első tényezőjére megismételhetjük a fenti eljárást:

…=(a2e−2⋅k−1)⋅(a2e−2⋅k+1)⏟=a2e−1⋅k−1⋅(a2e−1⋅k+1)=…\ldots=\underbrace{(a^{2^{e-2}\cdot k}-1)\cdot (a^{2^{e-2}\cdot k}+1)}_{=a^{2^{e-1}\cdot k}-1}\cdot (a^{2^{e-1}\cdot k}+1)=\ldots

Ha még az e−2e-2 kitevő is nagyobb 00-nál, akkor az első tényezőt ugyanígy tovább bonthatjuk. Minden lépésben tovább fog csökkenni a kitevő, és előbb-utóbb – egészen pontosan ee lépés után – eléri a 00-t. Ekkor épp a tételben szereplő szorzatot fogjuk kapni.

∎