Bizonyítás

Egyrészt: Tegyük fel, hogy $d_1$ kitüntetett közös osztója $a$-nak és $b$-nek, valamint $d_2$-re teljesül, hogy $d_1 \sim d_2$ – azaz $d_1$ és $d_2$ egymás asszociáltjai. Azt kell megmutatni, hogy ekkor $d_2$ is kitüntetett közös osztója $a$-nak és $b$-nek. Az asszociáltság 16.6. Definíciója alapján $d_2$-nek pontosan ugyanazok az osztói, mint $d_1$-nek. Emiatt, mivel $d_1$-nek osztója az összes közös osztó – hiszen kitüntetett –, ezért $d_2$-nek is, és így ő is kitüntetett.

Másrészt: Most tegyük fel, hogy $d_1$ és $d_2$ is kitüntetett közös osztója $a$-nak és $b$-nek. Azt kell megmutatni, hogy ekkor $d_1 \sim d_2$ – azaz $d_1$ és $d_2$ egymás asszociáltjai. Mivel $d_1$ közös osztó, ezért osztója $d_2$-nek, hiszen $d_2$ ugye kitüntetett. Fordítva: mivel $d_2$ közös osztó, ezért osztója $d_1$-nek, hiszen $d_1$ is kitüntetett. A két kitüntetett közös osztó tehát kölcsönösen osztói egymásnak, és így a 16.9. Tétel értelmében ők egymás asszociáltjai.

∎