Bizonyítás
Ha e-vel jelöljük a * művelet neutrális elemét, akkor egyrészt:
(x*y)*(y^{-1}*x^{-1})=x*(\underbrace{y*y^{-1}}_{=e})*x^{-1}=x*x^{-1}=e
Másrészt:
(y^{-1}*x^{-1})*(x*y)=y^{-1}*(\underbrace{x^{-1}*x}_{=e})*y=y^{-1}*y=e
Azaz a 14.9. Definíció alapján (x*y) és y^{-1}*x^{-1} valóban egymás inverzei. Ha x és y felcserélhetők, akkor pedig nyilván (x*y)^{-1}=(y*x)^{-1}=x^{-1}*y^{-1} is igaz.
∎