youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Most aa-ra vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamilyen a=na=n természetes számra. Az tehát az indukciós feltétel, hogy n+0=0+nn+0=0+n. Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor a=s(n)a=s(n)-re is igaz lesz, azaz:

s(n)⏟=a+0=0+s(n)⏟=a\underbrace{s(n)}_{=a}+0=0+\underbrace{s(n)}_{=a}

A 11.6. Lemma miatt:

s(n)+0=n+s(0)=…s(n)+0=n+s(0)= \ldots

A 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

…=s(n+0)=…\ldots =s(n+0)= \ldots

Az indukciós feltétel miatt:

…=s(0+n)=…\ldots =s(0+n)= \ldots

Végül szintén a 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

…=0+s(n)\ldots =0+s(n)

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban s(n)⏟=a+0=0+s(n)⏟=a\underbrace{s(n)}_{=a} + 0 = 0 + \underbrace{s(n)}_{=a}.

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni. Ezért most felborítjuk az első dominót, azaz igazoljuk, hogy az állítás igaz a=0a=0-ra. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül:

0⏟=a+0=0+0⏟=a\underbrace{0}_{=a}+0=0+\underbrace{0}_{=a}

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden aa számra igaz, hogy a+0=0+aa+0=0+a.

∎