Megjegyzés
Eszerint tehát sehogyan sem lehet kiválogatni véges vagy akár végtelen sok természetes számot úgy, hogy ezek között ne lenne legkisebb. Vegyük észre, hogy ez az egész számok halmazára például nem érvényes, mivel bármilyen egész számnál létezik nála kisebb egész szám, hiszen itt a számegyenes mindkét irányban végtelen. De bizonyos számkörökben még csak erre sincs feltétlenül szükség. Habár a "törtszámokat" még nem építettük fel az axiómák segítségével, de intuitív módon érezhető, hogy bármely két törtszám között végtelen sok további törtszám létezik. Következésképp ebben a számkörben a számegyenes semmilyen véges hosszú szakaszára nem igaz a fenti tétel.
Az tehát, hogy a természetes számokra mégis igaz, egyáltalán nem magától értetődő, akármennyire is annak látszik. Szerencsénkre, ez ugyanis lehetőséget teremt egy újfajta bizonyítási módszerre, amelyet végtelen leszállásnak nevezünk. Ezt Pierre de Fermat fejlesztette ki a 17. században, és számos fontos eredményhez jutott ennek segítségével. A módszer tulajdonképpen egy indirekt érvelés, melynek során megmutatjuk, hogy ha a szóban forgó állítás hamis, akkor elő lehet állítani egy olyan természetes számokból álló sorozatot, amelynek nincs minimuma. Ez ugye ellentmondana a minimumtételnek, a bizonyítandó állítás tehát nem lehet hamis, következésképp igaznak kell lennie.
♣