Bizonyítás
A 3. Peano-axióma kimondja, hogy legalább egy természetes szám létezik, nevezetesen a 0. Felfedeztük tehát az első természetes számot.
Az 1. axióma szerint minden természetes számnak létezik rákövetkezője, így a 0-nak is, méghozzá s(0). Ez a 0-tól különböző kell legyen, hiszen a 0 a 3. axióma miatt semmilyen természetes számnak sem rákövetkezője, így saját magának sem, vagyis s(0)\neq 0. Felfedeztünk tehát a második természetes számot, nevezetesen az s(0)-t.
A tétel bizonyításához azt kell belátni, hogy ezeket az újabb és újabb felfedezéseket vég nélkül folytathatjuk.
Jelöljük most x-szel a legutóbbi lépésben felfedezett természetes számot. Az 1. axióma miatt minden természetes számnak létezik rákövetkezője, így nyilván x-nek is, méghozzá s(x). Ez minden eddig felfedezett természetes számtól különböző kell legyen. A 0-tól a a 3. axióma miatt különbözik, amely kimondja, hogy a 0 semmilyen természetes számnak nem lehet rákövetkezője, így x-nek sem, vagyis s(x)\neq 0.
De s(x)-nek különböznie kell az összes többi, már felfedezett természetes számtól is, hiszen azokhoz korábban már eljutottunk a 0-ból kiindulva, a rákövetkezést követve. Márpedig ha korábban már eljutottunk hozzájuk, akkor a 2. axióma miatt x-ből már nem juthatunk vissza egyikhez sem. Így tehát s(x) egy újabb felfedezett természetes szám. Ugyanezzel a gondolatmenettel újabb és újabb természetes számokat fedezhetünk fel, amelyek mind különbözőek lesznek az addig már felfedezettektől.
Másként fogalmazva a természetes számok \N halmazának valóban végtelen sok eleme van.
∎