Bizonyítás

A 3. Peano-axióma kimondja, hogy legalább egy természetes szám létezik, nevezetesen a $0$. Felfedeztük tehát az első természetes számot.

Az 1. axióma szerint minden természetes számnak létezik rákövetkezője, így a $0$-nak is, méghozzá $s(0)$. Ez a $0$-tól különböző kell legyen, hiszen a $0$ a 3. axióma miatt semmilyen természetes számnak sem rákövetkezője, így saját magának sem, vagyis $s(0)\neq 0$. Felfedeztünk tehát a második természetes számot, nevezetesen az $s(0)$-t.

A tétel bizonyításához azt kell belátni, hogy ezeket az újabb és újabb felfedezéseket vég nélkül folytathatjuk.

Jelöljük most $x$-szel a legutóbbi lépésben felfedezett természetes számot. Az 1. axióma miatt minden természetes számnak létezik rákövetkezője, így nyilván $x$-nek is, méghozzá $s(x)$. Ez minden eddig felfedezett természetes számtól különböző kell legyen. A $0$-tól a a 3. axióma miatt különbözik, amely kimondja, hogy a $0$ semmilyen természetes számnak nem lehet rákövetkezője, így $x$-nek sem, vagyis $s(x)\neq 0$.

De $s(x)$-nek különböznie kell az összes többi, már felfedezett természetes számtól is, hiszen azokhoz korábban már eljutottunk a $0$-ból kiindulva, a rákövetkezést követve. Márpedig ha korábban már eljutottunk hozzájuk, akkor a 2. axióma miatt $x$-ből már nem juthatunk vissza egyikhez sem. Így tehát $s(x)$ egy újabb felfedezett természetes szám. Ugyanezzel a gondolatmenettel újabb és újabb természetes számokat fedezhetünk fel, amelyek mind különbözőek lesznek az addig már felfedezettektől.

Másként fogalmazva a természetes számok $\N$ halmazának valóban végtelen sok eleme van.

∎

• ↓Alárendelt lap:Megjegyzés