Megjegyzés

A bizonyítás nem volt teljesen precíz, mivel a tétel kimondása előtt tisztáznunk kellett volna, hogy pontosan mit értünk "végtelen sok elemet tartalmazó halmaz" alatt. A szükséges halmazelméleti ismereteket most nem részletezzük, azonban egy rövid példával megpróbálunk rávilágítani a lényegre.

Képzeljünk el egy szállodát végtelen sok szobával, amelyek $0$-tól vannak sorszámozva. A kérdés: hogyan tudunk elszállásolni egy újonnan érkező vendéget, ha az összes szoba foglalt? A megoldás roppant egyszerű: megkérünk minden vendéget, hogy költözzön át az eggyel nagyobb sorszámú szobába. Ezt minden további nélkül meg tudjuk tenni, következésképp felszabadul a $0$-ás sorszámú szoba, ahová az újonnan érkező vendéget elhelyezhetjük. Sőt, ha a vendégeket arra kérjük, hogy költözzenek át a kétszer nagyobb sorszámú szobába, akkor minden páratlan sorszámú szoba felszabadul, így akár végtelen sok új vendég is elhelyezhető.

A költöztetéssel lényegében egy úgynevezett kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk az összes szobák $A$ halmazából egy olyan $B$ részhalmazba, amely nem tartalmazta az összes szobát. Az ilyen részhalmazokat valódi részhalmazoknak nevezzük. A kölcsönösen egyértelműség itt azt jelenti, hogy $A$ minden szobájából elköltöztettük a vendégeket, és $B$ minden szobájába pontosan egy $A$-beli szobából költöztettünk vendégeket. A matematikában is hasonlóan definiáljuk a végtelen számosságot: egy halmaz számossága akkor végtelen, ha létezik kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés saját maga és egy valódi részhalmaza között. A Peano-axiómarendszerben bevezetett $s$ függvény épp egy ilyen megfeleltetést valósít meg a teljes $\N$ halmaz és annak azon valódi részhalmaza között, amely nem tartalmazza a $0$-t.

♣