Bizonyítás

A 13.5. Definíció alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy az $f$ szerinti kongruencia, mint reláció reflexív, tranzitív és szimmetrikus. Az alábbiakban legyenek $a$, $b$ és $c$ az $R$ gyűrű tetszőleges elemei.

Mivel nyilván $f(a)=f(a)$ teljesül, ezért fennáll az $a\equiv a\pod f$ reláció, így az reflexív. Az is nyilván igaz, hogy ha $f(a)=f(b)$ és $f(b)=f(c)$ teljesül, akkor $f(a)=f(c)$ is teljesül. Így tehát az $a\equiv b\pod f$ és $b\equiv c\pod f$ relációkból következik az $a\equiv c\pod f$ reláció, azaz teljesül a tranzitivitás is. Végül ha $f(a)=f(b)$ igaz, akkor nyilván $f(b)=f(a)$ is igaz, vagyis $a\equiv b\pod f$-ből következik $b\equiv a\pod f$, ami épp a szimmetriát jelenti.

∎