Bizonyítás

Az $a\leq b$ és $b\leq c$ relációk teljesülése, valamint az $a\lt b$ vagy $b\lt c$ relációk közül legalább az egyiknek a teljesülése a 15.18. Tétel miatt azt jelenti, hogy léteznek $n$ és $k$ természetes számok, amelyek közül legalább az egyik nem $0$, és amelyekre igazak az alábbi egyenletek:

A második egyenletbe $b$ helyére az első egyenlet baloldalát behelyettesíthetjük:

Az $n+k$ összegről viszont tudjuk, hogy mindkét tagja természetes szám, melyek közül legalább az egyik nem $0$. Márpedig a 12.19. Lemma kimondja, hogy ebben az esetben maga az összeg sem $0$. Azaz létezik olyan nem $0$ természetes szám – nevezetesen az $n+k$ –, amelyet $a$-hoz adva $c$-t kapunk. Ez a 15.18. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy: