Bizonyítás
Az a\leq b és b\leq c relációk teljesülése, valamint az a\lt b vagy b\lt c relációk közül legalább az egyiknek a teljesülése a 15.18. Tétel miatt azt jelenti, hogy léteznek n és k természetes számok, amelyek közül legalább az egyik nem 0, és amelyekre igazak az alábbi egyenletek:
\begin{aligned}
a+n&=b \\
b+k&=c
\end{aligned}
A második egyenletbe b helyére az első egyenlet baloldalát behelyettesíthetjük:
\underbrace{a+n}_{=b}+k=c
Az n+k összegről viszont tudjuk, hogy mindkét tagja természetes szám, melyek közül legalább az egyik nem 0. Márpedig a 12.19. Lemma kimondja, hogy ebben az esetben maga az összeg sem 0. Azaz létezik olyan nem 0 természetes szám – nevezetesen az n+k –, amelyet a-hoz adva c-t kapunk. Ez a 15.18. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy:
a\lt c
∎